第四次作业

第四次作业

第六章：

7.

是群，对任意, ，，

由群的定义我们知道，存在的逆元，并且满足结合律，且

那么可得

所以结论得证。

8.

为满足题目条件设群的两个子群，若两个子群的交集为,那么对任意,必有,因为都是的子群，那么就有,那么交集中必有，同理可得若，也有.那么交集就是的子集。

10.

$$H和K是G的子群，那么HK也是G的子集\\假设a \in H,b \in H,那么ab \in H\\因为e \in H,所以a*e=a \in HK,b*e \in HK\\ab*e \in HK,a^{-1} \in HK.那么HK是G的子群。$$

11.

根据费马小定理，有。

假设

那么。因为。

因为是阿贝尔群，所以.

那么。

第七章：

6：

群没有非平凡子群，那么的子群只有。

设，那么就有$={g^{k}:k \in Z}g^{k} \neq eG$是循环群。

7.

设循环群,群的阶是，由命题7.5得，

所以推论7.3得证。

第八章：

3.

如果 ,那么。

如果 ,由陪集的性质可得，.

因为,那么G被划分成两个部分，一个是本身，另外一个记作，那么。

4.

设是阶为的群，其中和是素数。那么可以整除。当阶为1时，真子群是平凡群，肯定是循环群。

由拉格朗日定理推论可得：素数阶数的有限群一定是循环群。

命题得证。

5.

根据拉格朗日定理，，k为正整数

又因为群H是群G的真子群，则,故有成立，转化后可得.